Курсовая работа: Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad

1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) = f (x, y, y , y’’ … y(n-1) )

Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.

Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др.Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.

Возможно вы искали - Статья: Лазерный проигрыватель и его диагностика

Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y(n) = f (x, y, y , y’’ … y(n-1) ) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0 ) = y0 , причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0 , y0 ). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:


y (x) – y (x0 ) =

Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х0 .

К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).

Похожий материал - Реферат: Консольное приложение на Дельфи

Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а* ), которая определяется следующим образом:

|a* -a| ≤ Д(a* )

Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:

|(a* -a)/ a* | ≤ д(a* )

Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:

Очень интересно - Реферат: Основы сканирования изображений

д(a* ) = Д(a* ) / |a* |

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой.

2. Дифференциальное уравнение

Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.

Дано:

2x''+5x'=29cost

Вам будет интересно - Курсовая работа: Система управления базой данных

x(0)= -1

x'(0)=0

2.1 Точное решение операторным методом

Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал.

Продифференцируем левую часть уравнения:

2x''+5x'=5*(s2 *X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0))

Похожий материал - Реферат: Операционная система Unix

Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим:

x''-3x'+2x= 2*(s2 *X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2 +5s)+s*2+5

Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа

К-во Просмотров: 209